3 Бөлім шеңберін пайдалану бойынша сарапшылар кеңестері

функция_викимедиа_бірлігі_цикл

Егер сіз триггерді немесе есептеулерді оқып жатсаңыз немесе дайындалып жатсаңыз, сізге бірлік шеңберімен танысу қажет. Бірлік шеңбері - бұл бұрыштың синусын, косинусын және жанамасын шешуде қолданылатын маңызды құрал. Бірақ бұл қалай жұмыс істейді? Ал оны пайдалану үшін қандай ақпаратты білу қажет?

Бұл мақалада біз бірлік шеңберінің не екенін және оны не үшін білу керектігін түсіндіреміз. Біз сізге бірлік шеңберді қалай қолдану керектігін есте сақтауға көмектесетін үш кеңес береміз.



Мүмкіндік суреті: Густавб /Викимедиа

Бірлік шеңбері: Негізгі кіріспе

Бірлік шеңбер - радиусы 1 болатын шеңбер. Бұл шеңбердің центрлік нүктесінен шеңбердің шетіндегі кез келген нүктеге жүргізілген кез келген түзу үшін бұл сызықтың ұзындығы әрқашан 1 -ге тең болады дегенді білдіреді. диаметрі радиус ұзындығының екі есесіне тең.)

Әдетте, бірлік шеңбердің орталық нүктесі-ось пен у осінің қиылысқан жерінде немесе координаталарында (0, 0):

body_wikimedia_unit_circle

Бірлік шеңбері немесе триггерлік шеңберді білу пайдалы, себебі ол 0 ° пен 360 ° (немесе 0 мен 2π радиан) арасындағы кез келген бұрыштың косинусын, синусын және жанамасын оңай есептеуге мүмкіндік береді.

ap физика механикасының формуласы

Жоғарыдағы диаграммада көріп тұрғандай, кез келген бұрышқа радиусты салу арқылы (суретте ∝ арқылы белгіленген) сіз тікбұрышты үшбұрыш жасайсыз. Бұл үшбұрышта косинус - көлденең сызық, ал синус - тік сызық. Басқа сөздермен айтқанда, косинус =x координаты және синус = у-координатасы. (Үшбұрыштың ең ұзын сызығы немесе гипотенузасы - радиус, сондықтан 1 -ге тең.)

Мұның бәрі неге маңызды? Есіңізде болсын, үшбұрыш қабырғаларының ұзындықтарын көмегімен шешуге болады Пифагор теоремасы немесе $ a^2+b^2 = c^2 $ (онда дейін және б үшбұрыштың қабырғаларының ұзындығы, және в Бұл гипотенузаның ұзындығы).

Бұрыштың косинусы горизонталь сызығының ұзындығына, синусы тік сызықтың ұзындығына, гипотенузасы 1 -ге тең екенін білеміз. бірлік шеңберіндегі кез келген тікбұрышты үшбұрыштың формуласы келесідей:

$$ cos ^ 2θ + sin ^ 2θ = 1 ^ 2 $$

$ 1^2 = 1 $ болғандықтан, біз бұл теңдеуді келесідей жеңілдете аламыз:

$$ cos ^ 2θ + sin ^ 2θ = 1 $$

Соны біліп жүріңіз бұл мәндер теріс болуы мүмкін пайда болған бұрышқа және х- және у координаттарының қай квадрантқа түсетініне байланысты (бұл туралы кейінірек толығырақ түсіндіремін).

Бірлік шеңберіндегі градус пен радиан бойынша барлық негізгі бұрыштарға шолу:

дене_бірлігі_шеңбер_деңгейі

Бірлік шеңбері - дәрежелер

дене_бірлігі_ шеңбері_радиандар

Бірлік шеңбері - радиандар

Бірақ егер үшбұрыш болмаса ше? Қарап көрейік бұрышы 0 ° болғанда, ось бойында көлденең түзу сызық құрғанда не болады:

body_unit_circle_cos_1_sin_0

Бұл жолда х координатасы 1-ге тең, ал у координаты 0-ге тең. Біз білеміз косинус х координатасына тең, ал синус у координатасына тең, сондықтан біз мынаны жаза аламыз:

  • $ cos0 ° = 1 $
  • $ sin0 ° = 0 $

Болса не бұрышы 90 ° және у осінің бойында мінсіз тік сызық жасайды?

body_unit_circle_cos_0_sin_1

Мұнда біз x координатасы 0-ге, y-координаты 1-ге тең екенін көре аламыз. Бұл бізге синус пен косинус үшін келесі мәндерді береді:

  • $ cos90 ° = 0 $
  • $ sin90 ° = 1 $

сіздің денеңіздің жауын біліңіз Егер сіз математиканы жақсы көрмесеңіз, бұл ұран міндетті түрде қолданылады.



Неліктен сіз бірлік шеңберін білуіңіз керек

Жоғарыда айтылғандай, бірлік шеңбері пайдалы, себебі ол синусын, косинусын немесе тангенсін кез келген дәрежедегі немесе радианды оңай шешуге мүмкіндік береді. Математикалық үй тапсырмасы үшін белгілі бір триг мәндерін шешу қажет болса немесе есептеулерді оқуға дайындалып жатсаңыз, бірлік шеңберінің диаграммасын білу әсіресе пайдалы.

Бірақ бірлік шеңберін білу сізге қалай көмектесе алады? Сізге математикалық тест бойынша келесі есеп берілді делік жоқ шешу үшін калькуляторды қолдануға рұқсат етілген:

$$ sin30 ° $$

Сіз неден бастайсыз? Бірлік шеңберінің диаграммасын тағы да қарастырайық - бұл жолы барлық негізгі бұрыштармен (градус пен радианда) және олардың сәйкес координаталары:

body_wikimedia_unit_circle_complete_chart Jim.belk /Викимедиа

Шамадан тыс қалмаңыз! Есіңізде болсын, сіз тек $ sin30 ° $ шешесіз. Бұл кестеге қарап, біз мұны көре аламыз y-координаты 30 ° кезінде $ 1/2 $ -ға тең. Ал y-координатасы синуске тең болғандықтан, біздің жауап келесідей:

$$ sin30 ° = 1/2 $$

Бірақ егер сізде градус емес, радианды қолданатын мәселе туындаса ше? Оны шешу процесі бұрынғыдай. Айталық, сізде келесідей мәселе бар:

$$ cos {{3π} / 4} $$

Тағы да, жоғарыдағы диаграмманы қолдана отырып, $ 3 3}/4 $ (бұл 135 ° -қа тең) үшін x-координаты (немесе косинусы) $-{√2}/2 $ екенін көреміз. Міне, бұл мәселеге біздің жауабымыз келесідей болады:

$$ cos ({3π} / 4) = - {√2} / 2 $$

Егер сізде сілтеме ретінде пайдалану үшін жоғарыда бірлік шеңбер диаграммасы болса, мұның бәрі өте оңай. Бірақ уақыттың көпшілігінде (бәрі болмаса да) олай болмайды, және сіз математикалық сұрақтарға тек миыңызды қолдана отырып жауап бересіз.

Сонымен, бірлік шеңберін қалай есте сақтауға болады? Біздің негізгі кеңестер алу үшін оқыңыз!

Бөлім шеңберін қалай есте сақтау керек: 3 маңызды кеңес

Бұл бөлімде біз сізге триггерлік шеңберді есте сақтау бойынша ең жақсы кеңестер береміз, сондықтан оны кез келген математикалық есепке оңай қолдануға болады.

дене_ескерту_ескерту Мен бірлік шеңберін постпен орындауды ұсынбаймын, бірақ бұл бастама.

№1: Ортақ бұрыштар мен координаттарды есте сақтаңыз

Бірлік шеңберін тиімді пайдалану үшін сізге қажет ең көп таралған бұрыштарды (градус пен радианда), сондай-ақ олардың сәйкес келетін x- және y-координаттарын есте сақтаңыз.

Жоғарыда келтірілген диаграмма шеңбердің пайдалы диаграммасы болып табылады, өйткені оған х және у осьтеріндегі сәйкес координат нүктелерінен басқа, градус пен радиандағы барлық негізгі бұрыштар кіреді.

Міне, дәл осы ақпаратты кесте түрінде көрсететін диаграмма:

Бұрыш (градус) Бұрыш (радиандықтар) Шеңбердегі нүктенің координаттары
0 ° / 360 ° 0 / 2π (1, 0)
30 ° $ π / 6 $ $ ({√3} / 2, 1/2) $
45 ° $ π / 4 $ $ ({√2} / 2, {√2} / 2) $
60 ° $ π / 3 $ $ (1/2, {√3} / 2) $
90 ° $ π / 2 $ (0, 1)
120 ° $ {2π} / 3 $ $ (- 1/2, {√3} / 2) $
135 ° $ {3π} / 4 $ $ (- {√2} / 2, {√2} / 2) $
150 ° $ {5π} / 6 $ $ (- {√3} / 2, 1/2) $
180 ° Pi (-1, 0)
210 ° $ 7 / $ 6 $ ( - {√3} / 2, -1/2) $
225 ° $ {5π} / 4 $ $ ( - {√2} / 2, - {√2} / 2) $
240 ° $ {4π} / 3 $ $ ( - 1/2, - {√3} / 2) $
270 ° $ {3π} / 2 $ (0, -1)
300 ° $ {5π} / 3 $ $ (1/2, - {√3} / 2) $
315 ° $ {7π} / 4 $ $ ({√2} / 2, - {√2} / 2) $
330 ° $ {11π} / 6 $ $ ({√3} / 2, -1/2) $

Енді сіз барлық координаттар мен бұрыштарды есте сақтауға тырысқыңыз келмесе де, бұл көп есте сақтау керек заттар.

Бақытымызға орай, бірлік шеңберінің ең маңызды бөліктерін есте сақтауға көмектесетін амал бар.

Жоғарыдағы координаттарға қараңыз, сонда сіз нақты үлгіні байқайсыз: барлық нүктелер (0 °, 90 °, 270 ° және 360 ° нүктелерінен басқа) тек үш мән арасында ауысады (оң немесе теріс):

  • $ 1 / $ 2
  • $ {√2} / 2 $
  • $ {√3} / 2 $

Әрбір мән сәйкес келеді косинус пен синус үшін қысқа, орташа немесе ұзын сызық:

body_unit_circle_cos_lines

дене_бірлігі_шеңбер_күні_жолдары

сол жақ графикке қисайған

Міне, бұл ұзындықтар нені білдіреді:

  • Қысқа көлденең немесе тік сызық = $ 1 / $ 2
  • Орташа көлденең немесе тік сызық = $ {√2} / 2 $
  • Көлденең немесе тік ұзын сызық = $ {√3} / 2 $

Мысалы, егер сіз $ cos {π/3} $ шешуге тырыссаңыз, бұл бұрыштың (60 ° -қа тең) екенін бірден білуіңіз керек. бірлік шеңберіндегі қысқа көлденең сызық. Сондықтан, оның сәйкес x-координаты $ 1/2 $ -ке тең болуы керек (оң мән, себебі $ π/3 $ координат жүйесінің бірінші квадрантында нүкте жасайды).

Ақырында, жоғарыдағы кестедегі барлық бұрыштарды есте сақтау пайдалы болғанымен, ескеріңіз есте сақтаудың ең маңызды бұрыштары:

  • 30 ° / $ π / 6 $
  • 45 ° / $ π / 4 $
  • 60 ° / $ π / 3 $

оң_негативті_кабельдер Теріс және позитивті болыңыз, егер дұрыс қосылмаған жағдайда өлімге әкелетін кабельдер сияқты.

№2: Ненің теріс және ненің оң екенін біліңіз

Оң және теріс х және у координаттарын ажырата білу өте маңызды, осылайша сіз триггерлік есептің дұрыс мәнін таба аласыз. Естеріңізге сала кетсек, жылы бірлік шеңберіндегі координат оң немесе теріс болады қай квадрантқа (I, II, III немесе IV) нүкте түседі:

дене_бірлігі_ шеңберінің_квартиралары

Міне, квадрантқа байланысты бұрыштың (градуспен немесе радианмен) оң немесе теріс болатынын көрсететін диаграмма:

Квадрант X-координаты (косинус) Y-координатасы (синусы)
Мен + +
yl - +
III - -
IV + -

Мысалы, сізге математикалық тест бойынша келесі есеп берілді делік:

$$ cos210 ° $$

Сіз оны шешпес бұрын, сіз жауаптың болатынын түсінуіңіз керек теріс сан өйткені 210 ° бұрышы III квадрантқа түседі (мұндағы х-координаттары әрқашан теріс).

Енді біз 1 -кеңесте үйренген трюкті қолдана отырып, сіз 210 ° бұрыш жасайтынын анықтай аласыз көлденең ұзын сызық. Сондықтан біздің жауабымыз келесідей:

$$ cos210 ° =-{√3}/2 $$

№3: Тангентті қалай шешуге болатынын біліңіз

Ақырында, триггер, синус және косинус туралы осы барлық ақпаратты қалай қолдану керектігін білу өте маңызды. бұрыштың жанамасын шешіңіз.

Үшбұрышта θ бұрышының тангенсін табу үшін (градуспен де, радианмен де) жай ғана синусын косинусқа бөліңіз:

$$ tanθ = { sinθ}/{ cosθ} $$

Мысалы, сіз бұл мәселеге жауап беруге тырысасыз деп айтыңыз:

$$ tan300 ° $$

Бірінші қадам - ​​синус пен косинус бойынша теңдеу құру:

$$ tan300 ° = { sin300 °}/{ cos300 °} $$

Енді тангентті шешу үшін синусын табу керек және косинусы 300 °. Сіз 300 ° бұрышы төртінші квадрантқа түсетінін тез тануыңыз керек, яғни косинус немесе х координатасы оң болады, ал синусы немесе у координаты теріс болады.

Сіз мұны бірден білуіңіз керек 300 ° бұрыш жасайды қысқа көлденең сызық және ұзын тік сызық. Демек, косинус (көлденең сызық) $ 1/2 $, ал синус (тік сызық) $-{√3}/2 $ тең болады (теріс у мәні, себебі бұл нүкте IV квадрантта) .

Енді тангенсті табу үшін сіз тек қосылып шешіңіз:

$$ tan300 ° = {-{√3}/2}/{1/2} $$

$$ tan300 ° = -√3 $$

дене_ мысық_жаттығу_гольф Математикалық дағдыларыңызды тексеретін уақыт келді!

Бірлік шеңберінің жаттығуларына арналған сұрақтар жинағы

Енді сіз бірлік шеңберінің қалай көрінетінін және оны қалай қолдану керектігін білсеңіз, үйренгендеріңізді бірнеше практикалық есептермен тексерейік.

Сұрақтар

  1. $ sin45 ° $
  2. $ cos240 ° $
  3. $ cos {5π} / 3 $
  4. $ tan {2π} / 3 $

Жауаптар

  1. $ {√2} / 2 $
  2. $ -1 / $ 2
  3. $ 1 / $ 2
  4. $ -√3 $

Түсіндірмелерге жауап беру

#1: $ sin45 ° $

Бұл мәселеде сіз бірден анықтай алатын екі ақпарат бар:

  • Жауабы оң болады, өйткені 45 ° бұрышы I квадрантында, ал бұрыштың синусы у-координатасына тең
  • 45 ° бұрыш жасайды орташа ұзындықтағы тік сызық (олар үшін)

45 ° оң, орташа ұзындықты көрсетеді дұрыс жауабы $ {√2} / 2 $.

Егер сіз мұны қалай шешуге болатынын білмесеңіз, сызықтың ұзындығының қысқа, орташа немесе ұзын екенін анықтауға көмектесетін диаграмма сызыңыз.

акт маусым 2015 колледж құпия

#2: $ cos240 ° $

Жоғарыдағы №1 мәселе сияқты, бұл мәселені тез түсінуге болатын екі ақпарат бар:

  • Жауап теріс болады, өйткені 240 ° бұрышы III квадрантта, ал бұрыштың косинусы х-координатасына тең
  • 240 ° бұрыш жасайды қысқа көлденең сызық (косинус үшін)

240 ° теріс, қысқа сызықты көрсетеді, дұрыс жауабы $ -1 / 2 $.

№ 3: $ cos {5π} / 3 $

Жоғарыдағы мәселелерден айырмашылығы, бұл мәселе қолданылады радиандар дәрежелердің орнына. Бұл мәселені шешу қиынға соғуы мүмкін болса да, іс жүзінде ол басқа екі мәселе сияқты негізгі қадамдарды қолданады.

Біріншіден, $ {5π}/3 $ бұрышы IV квадрантта екенін білуіңіз керек, сондықтан х координатасы немесе косинус болады. оң сан. Сіз мұны айта білуіңіз керек$ {5π} / 3 $жасайды қысқа көлденең сызық.

Бұл сізге оны анықтау үшін жеткілікті ақпарат береді The жауап болып табылады $ 1/2 $.

№ 4: $ tan {2π} / 3 $

Бұл мәселе синус немесе косинус орнына тангенспен байланысты, яғни ол үшін біздің математикадан сәл артық қажет болады. Біріншіден, еске түсіру Тангенсті табудың негізгі формуласы:

$$ tan θ = { sin θ} / { cos θ} $$

Енді, бізге берілген дәрежені алайық - $ {2π}/3 $- және оны мына теңдеуге қосыңыз:

$$ tan {2π} / 3 = { sin {2π} / 3} / { cos {2π} / 3} $$

Енді сіз синус пен косинусты бірлік шеңбер туралы есте сақтағаныңызбен бөлек шеше алуыңыз керек. $ {2π}/3 $ бұрышы II квадрантта болғандықтан, х координаты (немесе косинус) теріс болады, ал у координаты (немесе синусы) оң болады.

Содан кейін сіз көлденең сызықтың қандай бұрышқа негізделгенін анықтай аласыз қысқа сызық, және тік сызық ұзын сызық. Бұл косинус $ -1/2 $ -ке, синус $ {√3}/2 $ -ке тең екенін білдіреді.

Енді біз бұл мәндерді анықтадық, тек оларды бастапқы теңдеуімізге қосып, жанамасын шешу керек:

$$ tan {2π} / 3 = {{√3} / 2} / {- 1/2} $$

$$ tan {2π} / 3 = -√3 $$

Қызықты Мақалалар

Элк Гроув орта мектебі туралы не білуіңіз керек

Мемлекет рейтингісін, SAT/ACT ұпайларын, AP сабақтарын, мұғалімдер веб -сайттарын, спорттық командаларды және Элк Гроув қаласындағы Элк Гроув орта мектебі туралы көбірек біліңіз.

Небраска Университеті - Омаха Қабылдау талаптары

Кітапқа шолу: Принстон шолуының «Жаңа SAT сынуы»

Принстон шолуының «Жаңа SAT сынуы» көшірмесін алуды ойлайсыз ба? Біз кітаптың оң және теріс жақтарын түсіндіреміз.

AP емтихандары қанша уақытты құрайды? AP тест мамандары

AP тестілері қанша уақытты құрайды және бірнеше сағатқа созылатын тестпен қалай күресуге болады? Біздің сараптамалық нұсқаулықты оқыңыз.

Prairie View A&M университетіне түсуге қойылатын талаптар

3.9 GPA: бұл жақсы ма? Колледждерге 3.9 -мен түсуге болады

3.9 GPA деген не? Бұл жақсы ма, жаман ба, және қандай колледждер 3.9 GPA қабылдайды? Қандай мектептерге түсуге болатынын біліңіз.

Коппин мемлекеттік университетіне қабылдау талаптары

SAT математика бөлімінде не тексеріледі? Тақырыптар және практика

SAT математикасының барлық тақырыптары мен пәндері қандай? SAT математикасын оқып үйренудің ең жақсы әдісі қандай? Мұнда біліңіз.

Кентукки штатының университетіне қабылдау талаптары

North County Trade Tech High School туралы не білуіңіз керек

Штат рейтингісін, SAT/ACT ұпайларын, AP сыныптарын, мұғалімдердің веб -сайттарын, спорт командаларын және Вистадағы (CA) North County Trade Tech High School туралы көбірек біліңіз.

Мексика шығанағы қайда? Сіз білуге ​​тиіс 11 факт

Мексика шығанағы мұхит па? Ол қаншалықты терең? Мексика шығанағының картасын, физикалық география туралы мәліметтерді және Парсы шығанағы жағалауы туралы мәліметтерді біздің нұсқаулықтан қараңыз.

1140 SAT ұпайы: бұл жақсы ма?

Колгейт университетінің ACT ұпайлары мен GPA

Міне, тест алдында дәл не істеу керек

Тест алдында не істеу керектігін білмейсіз бе? Біз сізге тест алдында қалай тамақтану керектігін, тест алдында не жеуге болатынын білуіңіз керек нәрсенің бәрін түсіндіреміз.

Пуэрто -Рико Америка университетіне қабылдау талаптары

Фолкнер университетіне қабылдау талаптары

CNU SAT баллдары және GPA

Тесттен өтуге көмектесетін 18 керемет ACT хак

ACT-ты бұзудың жылдам жолдарын іздеп жүрсіз бе? Біздің сараптамалық стратегиялардың тізімі арнайы оқуға уақытыңыз болмаса да, ұпайыңызды көтеруге көмектеседі.

Daemen College-ге қабылдау талаптары

Мэн Университеті SAT баллдары және GPA

Уақыт бойынша орташа SAT ұпайлары: 1972-2020 жж

SAT, 2020, 2019, 2018 және одан бұрынғы орташа баллдары қандай болды? Біздің тарихи нұсқаулығымыздан 1972 жылға орташаланған SAT туралы біліңіз.

Қалай кіруге болады: UNC SAT ұпайлары мен GPA

Мэн университетіне қабылдау талаптары

840 SAT ұпайы: бұл жақсы ма?

Батлер университетінің SAT ұпайлары мен GPA